مثال‌های کاربردی تنش حرارتی
به منظور آشنایی با جزئیات فرآیند تحلیل سازه‌های نامعین استاتیکی در هنگام وجود تغییرات دما، به تشریح دو مثال کاربردی می‌پردازیم.
مثال 1
در شکل زیر، یک میله منشوری با طول L بین دو تکیه‌گاه ثابت نمایش داده شده است. اگر دمای میله به اندازه ΔT و به طور یکنواخت افزایش یابد، میزان تنش حرارتی ایجاد شده σT در آن چقدر خواهد بود؟ (ماده تشکیل‌دهنده میله را الاستیک خطی در نظر بگیرید.)
با افزایش دما، میله به سمت افزایش طول تمایل پیدا می‌کند. به دلیل محدود بودن دو انتهای A و B، عکس‌العمل‌های RA و RB در تکیه‌گاه‌های میله ایجاد می‌شوند. در این شرایط، میله تحت تنش‌های فشاری یکنواخت قرار می‌گیرد.
معادله تعادل
تنها نیروهای اعمال شده بر روی میله، عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی هستند. بنابراین، تعادل نیروها در راستای عمودی به صورت زیر خواهد بود:
به دلیل وجود تنها یک معادله و دو مجهول، سازه مورد بررسی از نظر استاتیکی نامعین محسوب می‌شود. از این‌رو باید به سراغ معادلات دیگر برویم.
معادله سازگاری
به دلیل ثابت بودن تکیه‌گاه‌ها، تغییر طول میله برابر با صفر خواهد بود. بنابراین:
به منظور تعیین این تغییر طول، تکیه‌گاه بالایی میله را مطابق شکل زیر حذف می‌کنیم. به این ترتیب، میله در انتهای پایینی خود ثابت می‌ماند و از انتهای بالایی خود آزادانه جابجا می‌شود.
اگر تنها نیروی اعمال شده از طرف تغییرات دما باشد، میله به اندازه δT افزایش طول می‌دهد. در صورت اعمال نیروی RA نیز طول میله به اندازه δR کاهش می‌یابد. بنابراین، تغییر طول کلی میله برابر با δAB=δT-δR خواهد بود. در نتیجه، معادله سازگاری به صورت زیر نوشته می‌شود:
روابط جابجایی
افزایش طول میله بر اثر تغییر دما با استفاده از رابطه دما-جابجایی تعیین می‌شود:
α: ضریب انبساط حرارتی
کاهش طول ناشی از اعمال نیروی RA نیز با استفاده از رابطه نیرو-جابجایی به دست می‌آید:
E: مدول الاستیسیته؛ A: مساحت سطح مقطع میله
حل معادلات به دست آمده
با جایگذاری روابط جابجایی در معادله سازگاری، معادله زیر حاصل می‌شود:
با حل هم‌زمان معادله بالا و معادله تعادل نسبت به RA و RB خواهیم داشت:
با توجه به این رابطه، تنش حرارتی درون میله برابر است با:
در هنگام افزایش دمای میله، این تنش به صورت فشاری خواهد بود.
نکته اول
در این مثال، مقدار عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی مستقل از طول میله و مقدار تنش نیز مستقل از طول و مساحت سطح مقطع بود. در واقع، یکی از مزیت‌های راه حل‌های پارامتری، مشاهده نحوه تاثیر پارامترهای مختلف بر روی یکدیگر است. در صورت ارائه یک مثال کاملاً عددی نمی‌توانستیم ویژگی‌های مهم در رفتار میله را به خوبی تشخیص دهیم.
نکته دوم
به منظور تعیین تغییر طول حرارتی، ماده را به صورت همگن و افزایش دما در درون میله را به صورت یکنواخت در نظر گرفتیم. برای تعیین تغییر طول ناشی از نیروی عکس‌العمل نیز رفتار ماده را به صورت الاستیک خطی فرض کردیم. در هنگام استفاده از روابط δT و δR باید همیشه محدودیت و فرضیات مذکور را در نظر داشته باشیم.
نکته سوم
برای این مثال، جابجایی طولی میله نه‌تنها در تکیه‌گاه‌ها بلکه در تمام سطح مقطع‌ها برابر با صفر بود. به این ترتیب، هیچ کرنش محوری در این میله رخ نداد. به این شرایط خاص، وجود تنش‌های طولی به همراه عدم وجود کرنش‌های طولی گفته می‌شود. به خاطر داشته باشید که در این شرایط، اعمال فشار محوری و همچنین تغییرات دما باعث به وجود آمدن کرنش‌های عرضی در میله خواهند شد. با این وجود، این نوع کرنش تاثیری بر روی نحوه انتقال بار نخواهد داشت.
مثال 2
پوششی به شکل یک لوله دایره‌ای با طول L را در نظر بگیرید. این پوشش مطابق شکل زیر در اطراف یک پیچ و بین دو واشر قرار گرفته و مهره انتهای پیچ تا لحظه چِفت شدن پوشش در میان واشرها چرخانده شده است. جنس مواد تشکیل‌دهنده پوشش و پیچ با یکدیگر تفاوت دارند. (ضریب انبساط حرارتی پوشش (αS) را بزرگ‌تر از ضریب انبساط حرارتی پیچ (αB) در نظر بگیرید.)
- الف) اگر دمای کل مجموعه به اندازه ΔT افزایش یابد، مقدار تنش‌های توسعه‌یافته در پوشش و پیچ چقدر خواهد بود؟
- ب) مقدار افزایش طول پوشش و پیچ چقدر است؟
در صورت فراهم بودن امکان تغییر شکل آزادانه قطعات، میزان تغییر طول پوشش و پیچ به دلیل متفاوت بودن مواد تشکیل‌دهنده آن‌ها متفاوت خواهد بود. اگرچه، هنگامی که این قطعات به صورت یک مجموعه در کنار هم قرار گیرند، امکان تغییر شکل آزادانه برای آن‌ها وجود ندارد. در نتیجه، تنش‌های حرارتی در هر دو ماده گسترش می‌یابند. به منظور تعیین این تنش‌ها باید مانند تمام تحلیل‌های نامعین استاتیکی از معادلات تعادل، معادلات سازگاری و روابط جابجایی استفاده کنیم. برای به دست آوردن معادلات مورد نیاز باید قطعات سازه را از یکدیگر جدا کنیم. یک روش ساده برای این کار، حذف سرِ پیچ و فراهم کردن امکان افزایش طول آزادانه پوشش و پیچ بر اثر تغییر دمای ΔT است.
برآیند تغییر طول پوشش با δ1 و تغییر طول پیچ با δ2 نمایش داده می‌شود. روابط دما-جابجایی مربوط به هر یک عبارت است از:
از آنجایی که αS بزرگ‌تر از αB است، تغییر طول δ1 نیز بزرگ‌تر از δ2 خواهد بود. بنابراین، نیروهای محوری باید به گونه‌ای باشند که با کاهش طول پوشش (نیروی فشاری) و افزایش طول پیچ (نیروی کششی)، طول نهایی این قطعات با یکدیگر برابر شود. در شکل زیر، نیروی فشاری درون پوشش با PS و نیروی کششی درون پیچ با PB نمایش داده شده است.
نیروهای PS و PB به ترتیب باعث ایجاد کاهش طول پوشش (δ3) و افزایش طول پیچ (δ4) می‌شوند:
ESAS و EBAB، صلبیت محوری مربوط هر یک از قطعات است. معادلات بالا، روابط بار-جابجایی این مسئله را نمایش می‌دهند. تغییر طول نهایی (δ) پوشش و پیچ یکسان خواهد بود. با در نظر گرفتن این نکته می‌توانیم معادله سازگاری این مسئله را به دست بیاوریم. با توجه به شکل بالا، تغییر طول پوشش برابر با δ1-δ3 و تغییر طول پیچ برابر با δ2+δ4 است. به این ترتیب، داریم:
با جایگذاری روابط دما-جابجایی و بار-جابجایی در رابطه بالا به معادله زیر می‌رسیم:
با مرتب کردن معادله بالا خواهیم داشت:
این معادله، فرم اصلاح‌شده معادله سازگاری است. توجه داشته باشید که نیروهای PS و PB به عنوان مجهولات مسئله در این معادله حضور دارند. شکل زیر را می‌توان به عنوان نمودار جسم آزاد مجموعه، پس از حذف کردن سر پیچ در نظر گرفت. با استفاده از این شکل می‌توانیم معادله تعادل مسئله را به دست بیاوریم.
برای به دست آوردن معادله تعادل، نیروهای موجود در راستای افقی را با هم جمع می‌کنیم. با توجه به تعادل جسم آزاد، داریم:
این معادله نشان می‌دهد که نیروی فشاری موجود در پوشش با نیروی کششی موجود در پیچ برابر است. با حل هم‌زمان فرم اصلاح‌شده معادله سازگاری و معادله تعادل، نیروهای محوری درون پوشش و پیچ تعیین می‌شوند:
توجه: برای دستیابی به معادله بالا، فرض کردیم که دمای مجموعه افزایش می‌یابد و ضریب αS از αB بزرگ‌تر است. در این شرایط، PS به عنوان نیروی فشاری درون پوشش و PB به عنوان نیروی کششی درون پیچ در نظر گرفته می‌شود. اگر دمای مجموعه افزایش پیدا کند اما ضریب αS کوچک‌تر از αB باشد، نتیجه به دست آمده کاملاً متفاوت خواهد بود. در این شرایط، با افزایش دما یک فضای خالی بین سر پیچ و پوشش به وجود می‌آید. به همین دلیل، هیچ تنشی در هیچ‌یک از بخش‌های مجموعه ایجاد نمی‌شود.
الف) تعیین تنش‌های موجود در پوشش و پیچ
تنش‌های موجود در پوشش (σS) و پیچ (σB) با استفاده از نیروهای به دست آمده در بخش‌های قبلی و مساحت هر یک از قطعات تعیین می‌شوند:
با توجه شرایط مسئله، تنش σS به صورت فشاری و تنش σB به صورت کششی خواهد بود. نکته قابل توجه این است که مقدار این تنش‌ها به طول مجموعه بستگی ندارند و با عکس مساحت مربوط به قطعه خود رابطه عکس دارند (σS/σB=AB/AS).
ب) تعیین افزایش طول مجموعه
با جایگذاری یکی از معادلات PS یا PB در معادله δ، تغییر طول کل مجموعه به دست می‌آید:
با استفاده از فرمول‌های به دست آمده می‌توانیم نیروها، تنش‌ها و جابجایی‌های مجموعه را به راحتی محاسبه کنیم.
نکته 1
برای اطمینان از صحت فرمول‌های به دست آمده می‌توانیم حالت‌های خاص مسئله را در نظر بگیریم. به عنوان مثال، فرض کنید که پیچ موجود در مجموعه مورد بررسی صلب باشد. در این صورت، تغییر دما هیچ تأثیری بر روی طول پیچ نخواهد داشت. برای نمایش این شرایط می‌توان αB را برابر با صفر یا EB را برابر با بی‌نهایت در نظر گرفت. در این شرایط، مجموعه‌ای به وجود می‌آید که پوشش آن بین تکیه‌گاه‌های صلب قرار گرفته است. با جایگذاری این مقادیر در فرمول‌های به دست آمده، به روابط زیر می‌رسیم:
این روابط با روابط به دست آمده در مثال قبل (میله قرار گرفته در میان تکیه‌گاه‌های صلب) مطابقت دارد.
نکته 2
فرض کنید که جنس مواد تشکیل‌دهنده پوشش و پیچ یکسان باشد. در این شرایط، با تغییر دمای مجموعه طول هر دو قطعه به صورت آزادانه و با مقداری برابر تغییر می‌کند. به این ترتیب، هیچ نیرو یا تنشی درون قطعات ایجاد نمی‌شود. با جایگذاری αS=αB=α در فرمول‌های به دست آمده، به روابط زیر می‌رسیم:
همان طور که مشاهده می‌شود، روابط بالا با توضیحات ارائه شده مطابقت دارند (عدم وجود تنش).