انحنای تیر و مفاهیم مرتبط با آن

رابطه انحنا

هنگامی که یک تیر در معرض بارهای خمشی قرار می‌گیرد، محور طولی آن از یک خط راست به یک منحنی تغییر شکل می‌دهد (مانند شکل زیر). در این شرایط، تنش و کرنش‌های به وجود آمده در تیر با انحنای نمودار تغییر شکل رابطه مستقیم دارد.

به منظور نمایش بهتر مفهوم انحنا، تیر یکسر گیردار زیر را در نظر بگیرید. بار متمرکز P بر روی انتهای آزاد این تیر اعمال می‌شود. در شکل زیر، منحنی تغییر شکل تیر AB نیز به همراه پیکربندی آن نمایش داده شده است. برای شروع تحلیل، دو نقطه m₁و m₂را بر روی این منحنی مشخص می‌کنیم. نقطه m₁را در یک محل دلخواه با فاصله x از محور y و نقطه m₂را در فاصله بسیار کمی (ds) از نقطه قبلی در نظر می‌گیریم.

اگر در محل قرارگیری هر یک از این نقاط، خطی را بر منحنی تغییر شکل مماس کرده و سپس از روی نقاط، خطوط عمود بر این مماس‌ها را رسم کنیم، دو خط عمود بر منحنی تغییر شکل در نقطه ‘O با هم برخورد می‌کنند. این نقطه با عنوان «مرکز انحنا» (Center of Curvature) شناخته می‌شود. در اکثر مواقع به دلیل وجود تغییر شکل‌های بسیار کوچک و انحنای بسیار کم در منحنی‌های تغییر شکل، نقطه ‘O معمولاً در فاصله بسیار دور از تیر قرار می‌گیرد. در شکل زیر، به منظور نمایش بهتر انحنا و موقعیت قرارگیری مرکز انحنای آن، تغییر شکل تیر با اغراق به تصویر کشیده شده است.

به فاصله بین نقطه m₁ بر روی منحنی تا مرکز انحنا در نقطه ‘O، «شعاع انحنا» (Radius of Curvature) می‌گویند و آن را با حرف یونانی ρ (رو) نمایش می‌دهند. «انحنا» (Curvature)، به عنوان عکسِ شعاع انحنا تعریف شده و با حرف یونانی κ (کاپا) نمایش داده می‌شود. به این ترتیب، داریم:

انحنا، معیاری برای نمایش شدت خمیدگی تیر است. اگر میزان بار اعمال شده بر روی یک تیر کوچک باشد، محور تیر تقریباً صاف، شعاع انحنای آن بسیار بزرگ و انحنای آن بسیار کم خواهد بود. با افزایش میزان بار، خمیدگی تیر نیز افزایش خواهد یافت (کاهش شعاع انحنا و افزایش انحنا). بر اساس هندسه مثلث O’m₁m₂، رابطه زیر به دست می‌آید:

dθ: زاویه بسیار کوچک بین خطوط عمود بر منحنی (بر حسب رادیان)؛
ds: طول بسیار کوچک منحنی در فاصله بین نقاط m₁ تا m₂

اگر رابطه بالا را با رابطه انحنا ترکیب کنیم، خواهیم داشت:

در کتاب‌های درسی مرتبط با معادلات دیفرانسیل، رابطه بالا برای تمام منحنی‌ها (صرف‌نظر از میزان انحنا) صادق است. اگر میزان انحنا بر روی تمام بخش‌های یک منحنی ثابت باشد، شعاع انحنا نیز ثابت خواهد بود. در این حالت، منحنی مورد تحلیل به عنوان کمانی از یک دایره فرضی در نظر گرفته می‌شود.

معمولاً میزان خمیدگی یک تیر نسبت به طول آن بسیار کوچک است. خمیدگی‌های کوچک به معنای صاف بودن تقریبی منحنی تغییر شکل هستند. از این‌رو، طول ds را می‌توان با طول تصویر آن بر روی محور افقی (dx) برابر در نظر گرفت. به این ترتیب، رابطه انحنا برای خمیدگی‌های کوچک به صورت زیر نوشته خواهد شد:

در رابطه بالا، هر دو کمیت انحنا و شعاع انحنا به عنوان تابعی از فاصله x بر روی محور x در نظر گرفته می‌شوند. بنابراین، محل قرارگیری مرکز انحنا (’O) نیز به فاصله x بستگی خواهد داشت. میزان انحنای به وجود آمده در یک نقطه خاص بر روی محور تیر به مقدار گشتاور خمشی موجود در آن نقطه و خواص تیر (نظیر شکل سطح مقطع و نوع ماده تشکیل‌دهنده) بستگی دارد. از این‌رو، اگر سطح مقطع یک تیر در راستای محور طولی خود بدون تغییر (سطح مقطع منشوری) و ماده تشکیل‌دهنده آن در همه نقاط یکسان (همگن) باشد، میزان تغییرات انحنا فقط به گشتاور خمشی وابسته خواهد بود. در نتیجه، یک تیر در شرایط خمش خالص، دارای انحنای ثابت و در شرایط خمش غیر یکنواخت، دارای انحنای متغیر است.

قاعده علامت‌گذاری

قاعده علامت‌گذاری انحنا به جهت‌گیری محورهای مختصات بستگی دارد. اگر سمت راست محور x و بخش بالایی محور y به عنوان نواحی مثبت در نظر گرفته شوند، خمیدگی رو به بالا و قرارگیری مرکز انحنا در بالای تیر بیانگر مثبت بودن علامت انحنا خواهد بود (بخش الف در شکل زیر). در طرف مقابل، خمیدگی رو به پایین و قرارگیری مرکز انحنا در پایین تیر، منفی بودن علامت انحنا را نمایش خواهد داد (بخش ب در شکل زیر).