همان گونه که در بخش قبلی اشاره شد؛ در تغییر شکل‌های کوچک، اکثر مواد الاستیک مانند فنرها دارای خاصیت الاستیسیته خطی هستند. این خاصیت را می‌توان توسط یک رابطه خطی بین تنش و کرنش نمایش داد که با عنوان قانون هوک شناخته می‌شود. قانون هوک، رابطه بین نیروی کششی (F) و جابجایی کششی ناشی از این نیرو (x) را نمایش می‌دهد:
در معادله بالا، k، ثابتی است که با عنوان نرخ یا ثابت فنر شناخته می‌شود.
قانون هوک را می‌توان به صورت رابطه بین تنش و کرنش نیز بیان کرد:
E: مدول الاستیک یا مدول یانگ
ثابت تناسب بین تنش و کرنش در سه بعد، یک تانسور مرتبه چهار به نام «سختی» (Stiffness) است. با این وجود، برای سیستم‌های دارای تقارن مانند یک میله یک‌بعدی، امکان کاهش مرتبه سختی و بهره‌گیری از قانون هوک وجود دارد.
الاستیسیته محدود
رفتار الاستیک موادی که تحت تغییر شکل‌های محدود هستند، توسط مدل‌هایی نظیر الاستیک کوشی، هایپو الاستیک و هایپرالاستیک توصیف می‌شود. گرادیان تغییر شکل (F)، اولین معیار تغییر شکلی است که در تئوری کرنش محدود مورد استفاده قرار می‌گیرد.
مدل رفتاری الاستیک کوشی
در مواد الاستیک کوشی، تانسور تنش کوشی (σ) تنها تابعی از گرادیان تغییر شکل است:
به طور کلی، تنش کوشی صرفاً تابعی از یک تانسور کرنش نیست زیرا چنین مدلی فاقد اطلاعات مهم راجع به چرخش ماده است. این اطلاعات برای به دست آوردن نتایج صحیح در محیط‌های ناهمسانگرد ضروری هستند. در صورت اعمال یک کشش عمودی به یک ماده ناهمسانگرد یا اعمال همان کشش به صورت افقی و دوران 90 درجه‌ای ماده، تانسور کرنش در هر دو حالت با هم برابر می‌شود اما مقادیر تانسور تنش کوشی متفاوت خواهند بود.
با اینکه تنش مواد الاستیک کوشی تنها به حالت تغییر شکل بستگی دارد، کار انجام شده توسط تنش‌ها به مسیر تغییر شکل وابسته است. از این‌رو، الاستیسیته کوشی، هم مدل‌های غیر محافظه‌کارانه غیر هایپرالاستیک (وابستگی کار ناشی از تغییر شکل به مسیر) و هم مدل‌های محافظه‌کارانه هایپرالاستیک (محاسبه تنش از طریق مشتق یک تابع اسکالر پتانسیل الاستیک) را دربرمی‌گیرد.
مدل رفتاری هایپو الاستیک
اگر بتوان ماده‌ای را با استفاده از یک معادله مشخصه صادق در معیارهای زیر مدل‌سازی کرد، به آن ماده هایپو الاستیک گفته می‌شود:
- مقدار تنش کوشی (σ) در زمان t، صرفاً به ترتیب شکل‌گیری پیکربندی‌های قبلی جسم بستگی داشته و هیچ ارتباطی با مدت زمان تغییر این پیکربندی‌های ندارد. مواد الاستیک کوشی، یکی از موارد بخصوص در این معیار هستند که تنش فعلی آن‌ها به پیکربندی فعلی وابسته بوده و به پیکربندی‌های قبلی مرتبط نیست.
- برای مواد هایپو الاستیک، یک تابع تانسوری G در نظر گرفته می‌شود که در رابطه σ˙=G(σ,L) مورد استفاده قرار می‌گیرد. ˙σ، نرخ تانسور تنش کوشی ماده و L، تانسور گرادیان سرعت است.
در صورت تعریف خاصیت هایپو الاستیسیته با استفاده از دو معیار بالا، هایپر الاستیسیته را می‌توان به عنوان یک حالت خاص از رفتار هایپو الاستیک در نظر گرفت. این موضوع منجر به تعیین معیار سومی برای ایجاد تمایز بین مدل‌های هایپو الاستیک و هایپر الاستیک می‌شود (در هایپو الاستیسیته، پارامتر تنش از طریق مشتق انرژی پتانسیل قابل محاسبه نیست). اگر معیار سوم اتخاذ شود، ماده هایپو الاستیک می‌تواند از مسیرهای بارگذاری بی در رو (غیر محافظه‌کارانه) پیروی کند. گرادیان تغییر شکل در ابتدا و انتهای این مسیرها یکسان است اما انرژی داخلی در طی آن‌ها تغییر می‌کند.
مدل رفتاری هایپر الاستیک
مواد هایپر الاستیک با عنوان «مواد الاستیک گرین» (Green Elastic Materials) نیز شناخته می‌شوند. این مواد، مدل‌های محافظه‌کارانه‌ای هستند که از تابع چگالی انرژی کرنشی (W) به دست می‌آیند. یک مدل هایپر الاستیک است؛ اگر و تنها اگر امکان تعریف تانسور تنش کوشی آن به عنوان تابعی از گرادیان تغییر شکل وجود داشته باشد. رابطه این مدل به صورت زیر بیان می‌شود:
که در آن:
در رابطه بالا، انرژی پتانسیل (W) به عنوان تابعی از گرادیان تغییر شکل (F) در نظر گرفته می‌شود. با استفاده از یک رویکرد دیگر می‌توان انرژی پتانسیل را به صورت تابعی از تانسور تغییر شکل کوشی-گرین (C:=FTF) بیان کرد. در این حالت، رابطه معرف مدل هایپر الاستیک به صورت زیر است:
که در آن
